Mục tiêu của nhiệm vụ là nghiên cứu bài toán Dirichlet của phương trình elliptic có dạng F(D2u)=ψ(x, u) và bài toán Cauchy-Dirichlet của phương trình parabolic có dạng F(D2u)=exp(∂tu+G(t, x, u))g(t, x) hoặc F(D2u)=∂tu+G(t, x, u), trong đó F là hàm lõm, tăng và chỉ phụ thuộc vào giá trị riêng của D2u. Phương trình Laplace, phương trình truyền nhiệt, phương trình Monge-Ampère, phương trình Hessian, phương trình Hessian đảo, phương trình Hessian thương là các phương trình thuộc dạng này. Nhiệm vụ của nhóm nghiên cứu (gồm Đỗ Hoàng Sơn, Phạm Hoàng Hiệp, Lương Thái Hưng và Đỗ Thái Dương) là nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán tổng quát và nghiên cứu tính chính quy, tính ổn định và một số tính chất khác của nghiệm của phương trình Monge-Ampère thực và phương trình Monge-Ampère phức. Mục tiêu của nhiệm vụ gồm các nội dung cụ thể như sau:
- Nội dung 1: Nghiên cứu về sự tồn tại và tính chất của nghiệm nhớt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình parabolic kiểu Hessian.
- Nội dung 2: Nghiên cứu về bài toán Dirichlet của phương trình elliptic kiểu Hessian trong trường hợp điều kiện biên suy biến.
- Nội dung 3: Nghiên cứu về các tính chất của nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampère thực và phương trình Monge-Ampère phức.
- Nội dung 4: Nghiên cứu về nghiệm của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình Parabolic Monge-Ampère phức.

- Đối với nội dung 1, chúng tôi đã nghiên cứu được một kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm nhớt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình parabolic kiểu Hessian phức. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng nếu hàm g không phụ thuộc vào biến t, hàm f xác định trên nón lồi, mở, đối xứng Γ và f(R, …, R) không bị chặn, đồng thời miền đã cho là Γ-giả lồi chặt và điều kiện ban đầu của bài toán là chấp nhận được (admissible) thì bài toán Cauchy-Dirichlet của phương trình f(λ(Hu))=exp(∂tu+G(t, x, u))g(t, x) có nghiệm nhớt duy nhất. Hơn nữa nghiệm là Γ-điều hòa dưới theo biến z. Các kết quả này đã được đăng trên tạp chí Annales Polonici Mathematici (SCI-E).
- Đối với nội dung 2: Chúng tôi chứng minh được một phiên bản mới của nguyên lý so sánh đối với phương trình elliptic kiểu Hessian phức, trong đó giảm nhẹ các điều kiện đối với f. Chúng tôi cũng chứng minh được một kết quả về xấp xỉ nghiệm dưới nhớt bởi dãy các nghiệm dưới khả vi vô hạn. Sử dụng các kết quả này, chúng tôi nghiên cứu được một kết quả về nghiệm của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic kiểu Hessian với điều kiện biên suy biến. Chúng tôi đã trình bày các kết quả này trong một báo cáo khoa học.
- Đối với nội dung 3: Chúng tôi đã thảo luận và trao đổi một số phương pháp quan trọng và các hướng nghiên cứu gần đây trong việc nghiên cứu phương trình Monge-Ampère thực và phức. Thông qua quá trình thảo luận, chúng tôi đã tìm được một số hướng nghiên cứu tiếp theo cho chủ đề này.
- Đối với nội dung 4: Chúng tôi tìm được một kết quả mới về sự tồn tại duy nhất nghiệm nhớt của bài toán Cauchy-Dirichlet đối với phương trình parabolic Monge-Ampère phức. Kết quả của chúng tôi đã được đăng trên tạp chí Journal of Geometric Analysis (SCI-E, Q1 Scimago).

- Nhiệm vụ cung cấp một số kết quả mới về sự tồn tại duy nhất nghiệm nhớt của bài toán Cauchy-Dirichlet cho phương trình parabolic kiểu Hessian phức tổng quát và phương trình parabolic Monge-Ampère phức.
- Nhiệm vụ cung cấp một số kết quả mới về nguyên lý so sánh và xấp xỉ nghiệm dưới nhớt của phương trình elliptic kiểu Hessian phức.

***  Sản phẩm cụ thể giao nộp:

- Các bài báo đã công bố:
1) Đỗ Hoàng Sơn, Phạm Ngọc Thành Công:  A Comparison Principle for Parabolic Complex Monge–Ampère Equations, Journal of Geometric Analysis, Vol 32 (2022), 19pp.
2) Đỗ Hoàng Sơn: Viscosity solutions to parabolic complex Hessian type equations, Annales Polonici Mathematici, Vol 129 (2022), no 2, 97-116.     
- Hoàn thành 11 báo cáo khoa học.
- Hỗ trợ nghiên cứu sinh Đỗ Thái Dương hoàn thành kế hoạch học tập đúng tiến độ.
- Đã tổ chức thành công 01 hội thảo khoa học trong năm 2022.
- Thành viên của nhiệm vụ đã tham gia trình bày nhiều bài giảng khoa học tại các hội nghị chuyên ngành trong và ngoài nước.
- Một báo cáo tổng hợp về nội dung và kết quả nghiên cứu.